本来不想写这篇专栏，但是有人艾特我，让我看看图片里的观点是否逆天。于是我就抽空回头翻了一下书，看看这个观点对不对。所以就有了这篇文章。

这张截图出自Up数学名师汇（现在好像改名了）的一期视频，号称要开扒牛顿的学术。视频里说牛顿要得到“向心力公式”需要四个前置知识，但是这些知识是在牛顿逝世后才有的，所以牛顿的学术存在造假。这是名师汇的一个观点。对此，我们可以看看是不是像他说的那样。

(资料图)

第一，牛顿需要知道sinx~x这个等价无穷小才能推导出向心力公式。牛顿的《原理》一书中专门论述了向心力，在求向心力之前，给出了11个引理作为推导的依据。我们先看一下相关内容

上面这些图片大概就是牛顿求向心力时所需要用到的前置的引理。我们从引理1就能发现牛顿时代的原始的极限、无穷小的雏形。引理1实际上就隐含了现代的“极限的定义”。牛顿的证明方法比较粗略，不严谨。虽然不能和完备的定义相比，但已经有了雏形。

引理2中出现了类似于“夹逼准则”的内容。指出了极限条件下，大矩形、小矩形和曲边形相等的情况。还有用弦长逼近弧长，以直代曲的思想。那么我们可以发现其实牛顿并不需要学习sinx~x的等价无穷小，而是他自己的这套方法就能得出弦长和弧长的逼近。他推导向心力公式是用了欧氏几何和自己阐述的极限思想。

三明治定理也就是夹逼准则也在引理2中体现。所谓拉格朗日的三明治定理，实际上就是对牛顿的原始的概念的严谨性证明，所以才把该荣誉授予了拉格朗日。这并不影响牛顿在没有严谨证明的情况下，仍然坚持使用该结论。只能指出牛顿的证明存在缺陷，但是经过了后人的完善，其结论仍可以成立。至于洛必达法则，牛顿也可以在不知道该方法的前提下，知道sinx和x的逼近关系。

说到弧度制，许多人都以为是欧拉发明的。其实这是错误认知，欧拉并非发明者，而是推广者。至少在1714年的时候，也就是牛顿活着的时候，弧度制就已经被部分数学家使用了。如果再往前追溯，都能追溯到古印度。我猜名师汇的意思大概就是认为弧长和弦长的逼近必须是在采用弧度制的前提下才能成立，不知道弧度制的话，无法推出sinx和x的逼近。但《原理》中并没有依赖弧度制，更多的是靠欧氏几何和原始的极限思维。弧度制在欧洲被使用，主要是为了解决如何在坐标系上绘制三角函数的图像的问题。数学家们迫切地需要一种解决方案，把几何上的角度与坐标轴上的实数对应起来。所以弧度制在欧洲的使用早于牛顿、欧拉，欧拉只是作为一个学术地位高的人，他所采纳的弧度制因此被学界广泛接受，甚至成为标准。

《原理》的资源我也会在评论区发链接，自己随便拿！

《原理》中牛顿画了这样的一张图。这是一个等时段划分的曲线运动。AB、BC、CD、DE、EF运动所需的时间都是相等的。在第一段时间里，AB段运动没有受到向心力S，如果B点处没有向心力作用的话，按照定律1，物体会在相同时间段内运动到c处。但是由于向心力S的影响，轨迹偏折，运动到了C处。我们可以把AB线段看成A点的速度的矢量图，也可以是AB段的运动的量度。那么原本Bc段的动量变成了BC段的动量。按照定律2，cC表示Bc和BC的差矢量，并且一定与BS平行。因为动量的改变发生在力S的方向上。因为AB=Bc，所以三角形SAB和三角形SBc面积相等。因为cC和BS平行，三角形SBC和三角形SBc面积相等。所以三角形SAB、三角形SBc和三角形SBC三者面积相等。按此方法，图中的黑边的三角形和虚线边的三角形面积都相等。所以表明，在向心力S的作用下，相等时间内，物体与S的连线划过的面积相等。牛顿又运用了极限思维，把AB、BC等线段变得很短，使得ABCDE连成的折线变成了弧线，上述的结论仍成立。这也和开普勒定律吻合。所以牛顿指出了向心力会在物体沿弧线运动时，持续不断地把物体从直线轨迹上拉到曲线上。

补足了平行四边形ABCV，BV和cC相等，cC表示动量差，同时也是S在B点处对物体的一次冲击的量。动量的差和冲击的量必然相等。冲击的量是时间和力的联合，在等时间段内，BV也如同力。向心力的大小和BV成比例。这里还要提一句，正矢函数是一个不常用的三角函数

极限条件下，BV线段就是弧ABC的正矢。所以正矢BV与向心力成正比。CVA趋向于共线，BV始终平分线段CVA于V点，也就是说向心力的力线平分弧线ABC的弦。在一个瞬间里，弦长、弧长相等，扇形就可以近似为等腰三角形，腰长为这一时刻的物体与S的连线。掠过的面积就是三角形的面积，AB、BC等一系列线段就是对应的底边。这些线段又可以如同物体的速度或者动量。

在圆中，如果把直径分为a、b两段，在分段处作一个垂直于直径的弦，半弦长h与a、b关系为

那么

也就是与弦长的平方成比例，或者说成与弧长的平方成比例。

极限条件下，BV是一个无穷小量，因此向心力与弧长的平方成正比，与直径成反比。而直径与半径成正比，所以向心力与弧长的平方除以半径成正比。又因为弧长是等时间内速度产生的，即弧长如同速度。

定理4的内容基本就推导出了向心力的公式，系理1说的更直接。

所以我们可以看出，牛顿仅依赖欧氏几何和原始的极限思维就推导出了向心力公式。数学名师汇显然是没有看前面的引理内容，直接拿着现代物理课程中推导向心力的方法去对比牛顿的方法，然后认为牛顿时代缺少洛必达法则、三明治定理，牛顿不可能使用未来的数学知识，进而否定牛顿的学术成就。殊不知这些知识反而是建立在牛顿的微积分的基础上，是对牛顿时代的数学体系的完善。他的说法只能哄骗那些没有看过书或懒得看书的网民，断章取义地截取只言片语，尔后声称自己有惊人发现，博人眼球。加之，当代中国网民基本都“不会上网”，中国网民的整体学历水平和学术素养都不高。每天囿困在信息茧房中，任由无良自媒体、营销号在自己的大脑中肆虐，间接帮助这些信息扩散。如果大家对上文中介绍的推导方法有所疑问，可以自行阅读我分享的图书资源，加深理解。